Le théorème de Gödel

Mesdames et Messieurs,

Vous connaissez tous les stars de la science que furent Albert Einstein, Louis Pasteur ou encore Isaac Newton mais il y a un homme envers qui j’ai beaucoup de respect et qui a effectué une découverte au moins aussi fondamentale que la relativité tout en étant resté un parfait inconnu du grand public, j’ai nommé Kurt Gödel.

Kurt_Godel_Kurt Gödel (1906 – 1978)

Qui est Kurt Gödel ?
Kurt Gödel est né en Autriche en 1906, enfant il était surnommé « Der Herr Warum » (M. Pourquoi). Étudiant brillant il se tourne avec passion vers le domaine de la logique mathématique, devenant donc logicien, ne pas confondre avec logisticien !

L’Allemagne nazie ayant annexé l’Autriche, Kurt s’enfuit avec sa femme aux États Unis en 1940 où il intégra le prestigieux institut des hautes études de Princeton et où il fit la connaissance d’Albert Einstein qui devint son ami très proche.

Un logicien est donc un spécialiste du langage associé aux mathématiques qui s’appelle tout simplement…la logique.
Kurt était un véritable passionné pour ne pas dire obsédé par son domaine.

Avant d’aller plus loin, il faut dire un mot sur les mathématiques, c’est quoi les mathématiques d’abord ?

Les mathématiques
Les mathématiques sont une construction abstraite de l’esprit humain basée sur des axiomes qui sont consensuellement considérés comme évidents mais non démontrés.
Exemple d’axiome admis pour la géométrie Euclidienne :
« Par deux points distincts passe une unique droite »

A partir de ces axiomes, tout ce qui en découle est appelé un théorème, tout théorème est démontré par le raisonnement et son langage propre la logique.
Les mathématiques sont donc une construction parfaitement rigoureuse basée sur des axiomes ou postulats.
Les premiers théorèmes de la construction sont démontrés à partir des axiomes.
Chaque nouveau théorème est alors démontré à partir de ceux qui le sont déjà.

C’est tout cela qui fait dire à certains avec raison que toutes les mathématiques connues et pas encore connues sont déjà contenues dans les axiomes de base, puissant non ?

Les mathématiques sont découpées en différentes branches, en voici une petite liste non exhaustive :
– la géométrie
– l’algèbre
– l’analyse
– les probabilités

Rapport des mathématiques avec les autres sciences
Sans rentrer dans une discussion complexe sur ce sujet, il faut simplement comprendre que toutes les sciences dures, à l’exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel.
Dans un post précédent sur la science intitulé « Epistémologie pour les nuls » on a déjà vu que les mathématiques sont un outil qui permettent de manipuler les phénomènes observés dans la nature à partir de l’élaboration d’une théorie.
On a donc le binôme suivant :
théorie au sens physique ET mathématique correspondante associée.

Les chercheurs en mathématiques travaillent dans leur domaine en ignorant les autre sciences, les scientifiques œuvrant dans ces dernières ne sont quand à eux en général pas non plus mathématiciens mais ont besoin des maths pour dépasser le stade conceptuel d’une théorie et la faire passer dans le domaine de la science appliquée.

Technologie
On peut citer pour compléter le tableau la technologie qui est le domaine de l’ingénieur s’appuyant sur les théories et les mathématiques qui leur sont associées afin de fabriquer des trucs relativement utiles comme les avions ou les ordinateurs par exemple.

Mais revenons maintenant à Kurt Gödel.

Une anecdote qui devrait être célèbre
Gödel et la constitution américaine.

Etant un esprit totalement logique, la vie quotidienne de Gödel était parfois difficile à assumer.
Lorsqu’il arriva aux États-Unis en 1940 il dut subir un examen pour sa naturalisation comme c’est le cas pour tout candidat à l’immigration aux USA.

Il devait passer un entretien avec un juge local pour prouver qu’il avait une bonne connaissance de la constitution américaine et choisir 2 témoins qui devaient se porter garant de sa bonne moralité.
Il ne pouvait en choisir de plus prestigieux puisque l’un d’eux était son ami Einstein et l’autre l’économiste américano-autrichien Oskar Morgenstern.

La veille de son entretien, Gödel tout excité appela Morgenstern pour lui annoncer qu’il avait trouvé de subtiles inconsistances logiques dans la constitution américaine et que cette dernière permettait en toute légalité, de transformer le régime politique du pays en régime dictatorial.
Morgenstern le calma tant bien que mal et arriva à le convaincre de ne surtout pas évoquer ce point devant le juge.
Le lendemain, le juge commença l’entrevue par la remarque « Vous êtes de nationalité allemande. – Non, autrichienne », le corrigea Gödel. Le juge poursuivit « En tous cas, vous vivez sous une dictature….heureusement que ça ne peut pas se produire en Amérique ».
Le mot « dictature » était laché, Gödel ne put se retenir « Au contraire, je puis démontrer que cela peut arriver ! »
Il fallu les efforts d’Einstein, de Morgenstern et du juge conjugués pour l’empêcher de se lancer dans une longue démonstration de la faille logique contenue dans la constitution américaine.
Mais tout fut bien qui finit bien, le juge n’en voulut pas à Gödel et il obtint sa nationalité américaine….
On peut d’ailleurs se demander si en ce moment aux USA, de gros malins ne sont pas en train d’exploiter cette faille pour arriver au résultat prédit par Gödel.

Après ces préambules, je sens que le public s’impatiente, alors venons en au coeur du sujet : le fameux théorème de Gödel.

Réexposition de pensee-unique-l-2L’intelligence n’arrive pas à définir l’intelligence

Le théorème de Gödel
Le théorème de Gödel ou Théorème d’incomplétude s’énonce brièvement de la manière suivante :
« Dans tout système logique, il existe au moins une proposition indémontrable »

Immédiatement, le lecteur va réagir : « Oui et alors ? On est bien avancé avec ça… »
Car en effet, cet énoncé un peu mathématique n’est pas très parlant je vous l’accorde.

Alors je vais expliquer.

Cela signifie d’abord que les mathématiques sont incapables de se définir elles mêmes complètement car elles sont situées à l’intérieur d’elles mêmes. Pour lever ces incomplétudes il faudrait ajouter des axiomes extérieurs au système.

On a vu que le monde est représenté par des théories établies par des scientifiques.
Ces théories s’appuient sur les différentes branches des mathématiques pour que l’on puisse les manipuler.
On remarque déjà une chose extraordinaire, c’est que **le monde obéit aux mathématiques**, mais je continue l’explication.
Puisqu’on a démontré que dans une mathématique s’appuyant sur des postulats de base, il y a des parties qui resteront toujours indémontrables ou autrement dit indécidables, alors comme l’univers est mathématique, nous ne serons jamais capables de le comprendre dans son ensemble quelque soient les progrès de la science !

Voilà à quoi correspond physiquement le théorème de Gödel :
« Le théorème de Gödel démontre que nous ne serons jamais capables de comprendre l’univers dans son ensemble quelque soient les progrès de la science dans le futur car nous sommes contenus dans cet univers »

Ce théorème a déclenché un coup de tonnerre qui résonne encore de nos jours non seulement dans le monde des mathématiques, mais aussi dans celui de la physique et également de la philosophie.

Conclusion
J’avoue que tout cela casse un peu le moral, car la démonstration définitive que l’on ne connaitra jamais l’univers dans son intégralité puisque l’on est contenu dedans peut paraitre déprimante pour certains.
Mais, là où le moral remonte c’est lorsque l’on se dit que ce fameux univers où l’on vit doit bien être complètement défini quelque part non ?
Alors cela implique que ce que l’on voit est inclut dans un ensemble encore plus vaste, genre poupées russes, ensemble qu’il ne reste plus qu’à découvrir si cela est possible.

Et pour finir, souvenons nous du chef d’œuvre métaphorique des frères Wachowski, ils n’étaient peut être pas loin de la vérité !

Liens
http://fr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
http://membres.lycos.fr/godel/
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/Incompl.htm
http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=godel

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